有限全曲率子流形上的 $L^2$ 调和 1-形式

设 $x:M^m\to \bar M$（其中 $m\geq 3$）是一个完备非紧流形 $M$ 到完备单连通流形 $\bar M$ 的等距浸入，$\bar M$ 的截面曲率满足 $-c^2\leq K_{\bar M}\leq 0$（$c$ 为某常数）。假设该浸入具有有限全曲率。若 $c\neq 0$，进一步假设 $M$ 的 Laplacian 的第一特征值有下界且由适当常数界定。我们证明了 $M$ 上 $L^2$ 调和 1-形式空间的维数是有限的。此外，存在一个显式计算出的常数 $\La>0$，使得如果全曲率以 $\La$ 为上界，则 $M$ 上不存在非平凡的 $L^2$ 调和 1-形式。