$\mathbb{R}^{n}$ 中具有有限拓扑的完备子流形

我们证明 $\mathbb{R}^{n}$ 中一个满足 $a(M)<1$ 的完备 $m$ 维浸入子流形 $M$ 是真浸入的且具有有限拓扑，其中 $a(M)\in [0,\infty]$ 是一个尺度不变数，刻画第二基本形式范数在无穷远处趋于零的速率。满足 $a(M)<1$ 的子流形类包含了 $\mathbb{R}^{n}$ 中所有具有有限总曲率的完备极小曲面、所有满足有限总数量曲率 $\smallint_{M}| \alpha |^{m} dV<\infty$ 的 $\mathbb{R}^{n}$ 中 $m$ 维极小子流形 $M$，以及所有满足 $\smallint_{M}| \alpha |^{2} dV<\infty$ 且关于每个法向曲率非正的完备二维完备曲面，因为对它们有 $a(M)=0$。