将紧致哈密顿 $\mathbb{S}^1$-空间扩展到四维中具有温和退化的可积系统

给定任意紧致连通四维辛流形 $(M,\omega)$ 以及生成有效 $\mathbb{S}^1$-作用的光滑函数 $J\colon M\to \mathbb{R}$，我们证明存在光滑函数 $H\colon M\to\mathbb{R}$，使得 $(M,\omega,(J,H))$ 是一个我们称之为超半环面的完全（Liouville）可积系统——这类系统的所有奇点均为非退化，除可能有有限个被称为抛物型（有时也称尖点型）的相对温和的退化点族。这样的 $(M,\omega,J)$ 常被称为哈密顿 $\mathbb{S}^1$-空间（Karshon 于 1999 年分类），我们称任何形如 $(M,\omega,(J,H))$ 的可积系统为 $(M,\omega,J)$ 的扩展。使用此术语，我们的主要结果是任何哈密顿 $\mathbb{S}^1$-空间都可扩展为超半环面可积系统。我们还证明了存在这样的哈密顿 $\mathbb{S}^1$-空间，其任何扩展必须至少包含一个退化奇点。抛物点是最常见且自然的退化点，因此超半环面系统在某种意义上是可以将全部哈密顿 $\mathbb{S}^1$-空间扩展到的“最友好”系统类。我们还证明了关于这些系统的若干基础性结果，例如双曲正则点环的不存在性以及关于其纤维的一些性质。