论实空间形式中定向测地线空间内的哈密顿极小子流形

我们证明，$(n+1)$维实空间形式${\mathbb S}^{n+1}_{p,1}$中超曲面的一个形变会诱导其法线汇在定向测地线空间${\mathbb L}({\mathbb S}^{n+1}_{p,1})$中的一个哈密顿变分。作为一个应用，我们证明，在${\mathbb L}({\mathbb S}^{n+1})$（相应地，${\mathbb L}({\mathbb H}^{n+1})$）中关于（仿）凯勒-爱因斯坦结构的每一个哈密顿极小子流形，局部地都是${\mathbb S}^{n+1}$（相应地，${\mathbb H}^{n+1}$）中某个超曲面$\Sigma$的法线汇，该超曲面是泛函${\cal W}(\Sigma)=\int_\Sigma\left(\Pi_{i=1}^n|\epsilon+k_i^2|\right)^{1/2}$的临界点，其中$k_i$表示$\Sigma$的主曲率，$\epsilon\in\{-1,1\}$。此外，对于$n=2$，我们证明，在${\mathbb L}({\mathbb S}^{3})$（相应地，${\mathbb L}({\mathbb H}^{3})$）中关于（仿）凯勒共形平坦结构的每一个哈密顿极小曲面，局部地都是${\mathbb S}^{3}$（相应地，${\mathbb H}^{3}$）中某个曲面的法线汇，该曲面是泛函${\cal W}'(\Sigma)=\int_\Sigma\sqrt{H^2-K+1}$（相应地，${\cal W}'(\Sigma)=\int_\Sigma\sqrt{H^2-K-1}\;$）的临界点，其中$H$和$K$分别表示$\Sigma$的平均曲率和高斯曲率。