实空间形式中有向测地线空间的仿凯勒结构

本文中，我们在非平坦实空间形式 $M$ 的有向测地线空间 ${\mathbb L}(M)$ 中构造了一个新的仿 K"ahler 结构 $({\mathcal G},{\mathcal J},\Omega)$。我们首先证明仿 K"ahler 度量 ${\mathcal G}$ 是数量平坦的，且当 $M$ 为三维实空间形式时，${\mathcal G}$ 是局部共形平坦的。此外，我们证明双曲 $n$ 空间中有向测地线空间在赋予所构造度量 ${\mathcal G}$ 时，极小等距嵌入于双曲 $n$ 空间的切丛中。接着我们研究子流形理论，并证明 ${\mathcal G}$-测地线对应于实空间形式中的极小直纹面。拉格朗日子流形（关于典范辛结构 $\Omega$）在有向测地线空间的几何中扮演重要角色，因为它们是相应空间形式中超曲面的高斯映射。我们证明常高斯曲率的非平坦超曲面的高斯映射是极小拉格朗日子流形。最后，我们证明哈密顿极小子流形局部上是超曲面 $\Sigma$ 的高斯映射，而 $\Sigma$ 是泛函 $\mathcal{F}(\Sigma)=\int_{\Sigma}\sqrt{|K|}\,dV$ 的临界点，其中 $K$ 表示 $\Sigma$ 的高斯曲率。