黎曼曲面切丛中的极小 Lagrange 曲面

给定一个定向黎曼曲面 $(\Sigma, g)$，其切丛 $T\Sigma$ 具有自然的伪 Kähler 结构，即复结构 $\J$、中性号差的伪度量 $\G$ 与辛结构 $\Om$ 的组合。我们对 $T\Sigma$ 中那些关于 $\Om$ 为 Lagrange 且关于 $\G$ 为极小的曲面进行了局部分类。首先证明，若 $g$ 非平坦，则此类曲面仅为测地线上的仿射法丛。相比之下，在平坦情形下存在一大类 Lagrange 极小曲面，并对此进行了显式描述。作为应用，我们证明了 $\R^3$ 或 $\R^3_1$ 中曲面的运动诱导了其法线汇的 Hamilton 运动，这些法线汇分别是 $T\S^2$ 或 T \H^2 中的 Lagrange 曲面。我们将该汇的面积与原曲面上的二阶泛函 $\mathcal{F}=\int \sqrt{H^2-K} dA$ 联系起来。