加权单调性定理及其在 $\mathbb{H}^n$ 与 $S^n$ 中极小曲面上的应用

我们证明，在黎曼流形 $M$ 中，每一个其 Hessian 与度量张量成比例的函数都给出一个加权单调性定理。此类函数出现在欧氏空间、 round sphere $S^n$ 和双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 中，分别为距离函数、$\mathbb{R}^{n+1}$ 的欧氏坐标和 $\mathbb{R}^{n,1}$ 的闵可夫斯基坐标。随后我们表明加权单调性定理可以比较，并且在双曲情形中，该比较蕴含三个 $SO(n,1)$-不同的非加权单调性定理。由此，我们得到极小曲面的 Graham--Witten 重整化面积以其在不同共形无穷度规下度量的理想周长表示的上界。其他应用包括来自计数 $\mathbb{H}^n$ 中极小曲面的纽结不变量的一个消失结果，以及以体积度量 $S^n$ 中极小子流形必须有多对径的量化结果。