满足 $L_k\psi=A\psi+b$ 的非平坦洛伦兹空间形式中的超曲面

我们研究位于德西特空间 $\S_1^{n+1}\subset\R_1^{n+2}$ 或反德西特空间 \H_1^{n+1}\subset\R_2^{n+2} 中的超曲面，其位置向量 $\psi$ 满足条件 $L_k\psi=A\psi+b$，其中 $L_k$ 是超曲面第 $(k+1)$ 平均曲率的线性化算子，$k=0,...,n-1$ 固定，$A$ 是 $(n+2)\times(n+2)$ 常数矩阵，$b$ 是相应伪欧几里得空间中的常向量。对于每个 $k$，我们证明当 $A$ 是自伴且 $b=0$ 时，满足该条件的唯一超曲面是：第 $(k+1)$ 平均曲率为零且第 $k$ 平均曲率为常数的超曲面；$\S_1^{n+1}$ 中标准伪黎曼乘积的开片（$\S_1^m(r)\times\S^{n-m}(\sqrt{1-r^2})$、\H^m(-r)\times\S^{n-m}(\sqrt{1+r^2})、$\S_1^m(\sqrt{1-r^2})\times\S^{n-m}(r)$、\H^m(-\sqrt{r^2-1})\times\S^{n-m}(r)）；\H_1^{n+1} 中标准伪黎曼乘积的开片（\H_1^m(-r)\times\S^{n-m}(\sqrt{r^2-1})、\H^m(-\sqrt{1+r^2})\times\S_1^{n-m}(r)、\S_1^m(\sqrt{r^2-1})\times\H^{n-m}(-r)、\H^m(-\sqrt{1-r^2})\times\H^{n-m}(-r)）；以及二次超曲面 $\{x\in\mathbb{M}_{c}^{n+1}\;|\;Rx,x=d\}$ 的开片，其中 $R$ 是自伴常数矩阵，其最小多项式为 $t^2+at+b$，$a^2-4b\leq 0$，且 $\mathbb{M}_{c}^{n+1}$ 表示 $\S_1^{n+1}\subset\R_1^{n+2}$ 或 \H_1^{n+1}\subset\R_2^{n+2}。当 $H_k$ 为常数且 $b$ 为非零常向量时，我们证明该超曲面是全脐的，并进一步得到分类结果（见定理 2）。