具有 $S^1$-对称性的四维可积系统族

本文旨在对提升哈密顿 $S^1$-空间的可积系统族给出新的认识。具体而言,我们研究具有固定哈密顿 $S^1$-空间 $(M,\omega,J)$ 且对参数的某些值 $t$ 为半环面的单参数族 $(M^4,\omega,F_t=(J,H_t))_{0 \leq t \leq 1}$,重点关注其中一个奇点经历哈密顿-霍普夫分岔(在半环面系统以及更一般的近环面纤维化中也称为节点交换)的此类族。除半环面系统外,我们还研究包含超半环面系统的族,并考察节点交换的局部理论。\基于并推广先前论文的思想,我们展示了如何利用此类族来寻找具有某些期望不变量的显式半环面系统(这些不变量打包于标记半环面多边形中)。这使我们能够通过理解并给出每种严格极小类型的显式系统(即那些不容许任何环面或半环面型爆破的类型),在半环面极小模型程序上取得进展。为获得这些系统,我们发展了用于构造和理解一般半环面(及超半环面)系统显式例子的策略。我们所使用的一种策略是从一个被充分理解的系统(如环面系统)出发,显式地诱导哈密顿-霍普夫分岔以产生焦点-焦点奇点。这是上述先前论文中所用技术的扩展,以便将其应用于底层 $S^1$-空间中含有非平凡等变球(即 $\mathbb{Z}_k$-球)的半环面系统,这出现在若干严格极小系统中。\特别地,我们在 $\mathbb{CP}^2$ 上给出一个显式单参数系统族,其根据参数取值在环面型、半环面型和超半环面型之间转变。我们在每个阶段研究该系统,计算半环面系统的标记半环面多边形,并确定超半环面系统的若干性质,包括存在唯一的 flap 和两条抛物轨道。此外,我们研究这些阶段之间的转变。\我们还给出了在所有 Hirzebruch 曲面上的新显式半环面系统,结合先前的系统以及文献中已有的系统,给出了每种严格极小系统类型的显式模型。此外,我们展示了如何通过对简单显式系统施加交替的环面型爆破与爆破逆操作序列来获得每个严格极小系统。特别地,我们得到每个严格极小半环面多边形均可从一个半环面系统获得,该系统属于族 $(M,\omega,F_t=(J,H_t))$,该族除有限个 $t$ 值外均为半环面,称为半环面族。