谐振子与库仑系统的精确可解形变及其推广

我们提出了两个最大超可积哈密顿系统${\cal H}_\lambda$和${\cal H}_\eta$，它们分别定义在 III 型 Darboux 曲面的$N$维球对称推广空间和$N$维 Taub-NUT 空间上。随后，我们证明了对${\cal H}_\lambda$和${\cal H}_\eta$的量子化分别导致了两个基本量子力学系统（谐振子和库仑问题）的精确可解形变（参数分别为$\lambda$和$\eta$）。在这两种情况下，量子化的执行方式确保了经典哈密顿量的最大超可积性得到完全保留。特别是，我们证明了通过应用所谓的共形 Laplace-Beltrami 量子化方案可以满足这一强条件，其中共形拉普拉斯算子包含底层流形上的通常 Laplace-Beltrami 算子加上一个与其标量曲率成正比的项（在这两种情况下该值非常数）。通过这种方式，${\cal H}_\lambda$和${\cal H}_\eta$的量子对应物的本征值问题可以被严格求解，并且发现它们的离散谱分别是谐振子谱和库仑谱关于参数$\lambda$和$\eta$的光滑形变。此外，结果表明这两个系统的最大简并度在形变下得以保留。最后，我们展望了保持其超可积性的这两个系统的新的多参数推广。