弯曲空间上的各向异性振子：一个新的精确可解模型

我们提出一个新的精确可解（经典与量子）模型，可解释为具有任意频率对 $\omega_x$ 和 $\omega_y$ 的二维各向异性振子向二维球面与双曲空间的推广。新的弯曲哈密顿量 ${H}_\kappa$ 依赖于底层空间的曲率 $\kappa$ 作为变形/收缩参数，且 ${H}_\kappa$ 的刘维尔可积性基于其按测地平行坐标（推广了平面的笛卡尔坐标）的可分离性。此外，该系统在频率可通约 $\omega_x: \omega_y$ 时显示为超可积，从而模仿了平坦欧几里得情形的行为，而后者总在 $\kappa\to 0$ 极限下恢复。在可通约情形中，额外的运动常数如预期为动量中的高阶项，并可通过哈密顿量的经典因式分解显式推导。已知的 $1:1$ 与 $2:1$ 各向异性弯曲振子作为 ${H}_\kappa$ 的特例被重现，同时所有其余的 $\omega_x: \omega_y$ 弯曲振子定义了新的超可积系统。进而，量子哈密顿量 $\hat {H}_\kappa$ 通过量子因式分解方法被完整构造与研究。在可通约频率情形下，哈密顿量 $\hat {H}_\kappa$ 结果是量子超可积的，并导出一个新的精确可解量子模型。其对应谱表现出最大简并度，被显式给出为欧几里得本征值关于曲率 $\kappa$ 与普朗克常数 $\hbar$ 的解析变形。事实上，该谱是作为两个一维（三角或双曲）Pösch-Teller 本征值集合的复合而获得的。