二维球面与双曲平面上的一种新的可积各向异性振子

本文提出了带有 Rosochatius（离心）项的二维欧几里得各向异性振子哈密顿量向二维球面 $S^2$ 和双曲空间 $H^2$ 的一种新的可积推广，并表明其弯曲运动积分在动量中是二次的。为了构造这种新的可积哈密顿量 $H_\kappa$，我们将采用群论方法，其中底层空间的曲率 $\kappa$ 将被视为一个额外的（收缩）参数，并将广泛使用射影坐标及其相关的相空间。结果表明，当振子参数 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 满足 $\Omega_2=4\Omega_1$ 时，该系统即为 $S^2$ 和 $H^2$ 上著名的超可积 1:2 振子。然而，对 $H_\kappa$ 轨迹的数值积分表明，对于其他 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 参数值，该系统并非超可积。以此方式，我们支持了如下猜想：对于每个可通约（因而超可积）的 $m:n$ 欧几里得振子，存在一个双参数族的弯曲可积（但非超可积）振子，仅当参数调节至 $m:n$ 可通约条件时，该族振子才变为超可积。