二维球面与双曲平面上的各向异性振子

本文提出了欧几里得各向异性振子哈密顿量（含“离心”项）$H=1/2(p_1^2+p_2^2)+ \delta q_1^2+(\delta + \Omega)q_2^2 +\frac{\lambda_1}{q_1^2}+\frac{\lambda_2}{q_2^2}$ 在二维球面 $S^2$ 和双曲平面 $H^2$ 上的可积推广。所得的广义哈密顿量 $H_\kappa$ 显式依赖于底层空间的常数高斯曲率 $\kappa$，使得此处呈现的所有结果同时适用于 $S^2$ ($\kappa>0$)、$H^2$ ($\kappa<0$) 和 $E^2$ ($\kappa=0$)。此外，明确证明了对于任意参数值 $\delta$、$\Omega$、$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，$H_\kappa$ 均是可积的。因此，$H_\kappa$ 也可被解释为弯曲 Higgs 振子的各向异性推广，后者作为 $H_\kappa$ 的各向同性极限 $\Omega=0$ 而被恢复。 furthermore，计算了 $H_\kappa$ 部分轨迹的数值积分，并突出了由引入弯曲背景所产生的动力学特征。通过聚焦于 $\Omega=3\delta$ 这一情形讨论了 $H_\kappa$ 的超可积性问题，该情形下欧几里得哈密顿量 $H$ 已知是超可积的（1:2 振子）。数值结果表明，对于 $\Omega=3\delta$，弯曲哈密顿量 $H_\kappa$ 呈现出非周期有界轨迹，这似乎表明 $H_\kappa$ 提供了 $H$ 的一个非超可积推广。我们将此结果与先前已知的 1:2 欧几里得振子的超可积弯曲类比 $H'_\kappa$ 进行了比较，表明 $H_\kappa$ 的 $\Omega=3\delta$ 特例并不等同于 $H'_\kappa$。最后，详细讨论了 $H_\kappa$ 中出现的弯曲“离心”项的几何解释。