球面与双曲平面上的可积 Hénon-Heiles 系统

我们在二维球面 ${\mathbf S}^2$ 和双曲空间 ${\mathbf H}^2$ 上构建了可积 H\'enon-Heiles 哈密顿量 $\mathcal{H}$ 的常曲率类比，其中 $\mathcal{H}$ 由 $$\mathcal{H}=\dfrac{1}{2}(p_{1}^{2}+p_{2}^{2})+ \Omega \left( q_{1}^{2}+ 4 q_{2}^{2}\right) +\alpha \left( q_{1}^{2}q_{2}+2 q_{2}^{3}\right) ,$$ 给出，这里 $\Omega$ 和 $\alpha$ 为实常数。由此得到的曲率可积哈密顿量 $\mathcal{H}_\kappa$ 依赖于参数 $\kappa$，该参数即为底层空间的曲率，并且使得欧几里得 H\'enon-Heiles 系统 $\mathcal{H}$ 能在零曲率极限 $\kappa\to 0$ 下平滑获得。另一方面，我们提出的哈密顿量 $\mathcal{H}_\kappa$ 可视为已知曲率可积 $1:2$ 各向异性谐振子的可积微扰。我们强调，为了获得曲率 H\'enon-Heiles 哈密顿量 $\mathcal{H}_\kappa$，必须要求在由曲率生成的形变下保持平坦哈密顿量 $\mathcal{H}$ 的完整可积结构。特别是，存在完整的 Ramani-Dorizzi-Grammaticos (RDG) 系列 $\cal{V}_{n}$ 可积多项式势的曲率类比（平坦 H\'enon-Heiles 势可嵌入其中），这对我们的构建至关重要。我们还将明确给出 ${\mathbf S}^2$ 和 ${\mathbf H}^2$ 上这样的无限族曲率 RDG 势 $\cal{V}_{\kappa, n}$。