与谐振子反常哈密顿量相关的量子模型

我们研究谐振子的一对正则型（反常）哈密顿量，它们在经典层面上给出与传统哈密顿量相同的运动方程。这两个哈密顿量，记为$K_{1}$和$K_{2}$，显含时间，并可表示为正则变量(q,p)的两个三次多项式函数$H_{1}$和$H_{2}$的正式旋转。我们考察这些反常哈密顿量在量子层面的作用。采用正则量子化程序，我们构造了一些量子模型并分析相关的本征值方程。其中一个模型由具有无穷自伴延拓的哈密顿量描述，每个延拓在实数线上具有离散谱。通过取相关本征值方程的光谱参数$\epsilon$等于零来固定一个自伴延拓。我们在三种不同表示的框架下讨论该谱问题。对于$\epsilon =0$，本征值方程在所有这些表示中精确求解，并显式给出平方可积解。我们也得到了对应于这些量子模型的守恒量集合。此外，探讨了量子模型背后的代数结构。结果是一个非线性（二次）代数，可用于确定本征值方程的近似解。