关于有限群的 τ-闭 n-重 σ-局部群系

所考虑的所有群均为有限群。设 σ = {σ_i ∣ i∈I} 为 ℙ 的某个划分，G 为一个群，𝔉 为一个群类。则 σ(G)={σ_i∣ σ_i∩ π(G)≠ ∅} 且 σ(𝔉)=∪_{G∈ 𝔉}σ(G)。形如 f:σ →{群系} 的函数 f 称为一个群系 σ-函数。对任意群系 σ-函数 f，类 LF_σ(f) 定义如下：$$LF_σ(f)=(G \text{ 是一个群 } \mid G=1 \text{ 或 } G≠ 1\ \text{ 且 }\ G/O_{σ_i', σ_i}(G) ∈ f(σ_i) \text{ 对所有 } σ_i ∈ σ(G)).$$ 若对某个群系 σ-函数 f 有 𝔉=LF_σ(f)，则称 𝔉 为 σ-局部的，f 称为 𝔉 的一个 σ-局部定义。每个群系称为 0-重 σ-局部的。对 n > 0，一个群系 𝔉 称为 n-重 σ-局部的，当且仅当 𝔉=(1) 或 𝔉=LF_σ(f)，其中对所有 σ_i∈ σ(𝔉)，f(σ_i) 是 (n-1)-重 σ-局部的。设 τ(G) 为 G 的子群集合且满足 G∈ τ(G)。若对任意满同态 φ : A → B 以及任意群 H∈τ(A) 与 T∈τ(B)，均有 H^φ∈τ(B) 且 T^{φ^{-1}}∈τ(A)，则称 τ 为一个子群函子。若对所有 G∈𝔉 有 τ(G)⊆𝔉，则称类 𝔉 为 τ-闭的。我们描述了 τ-闭 n-重 σ-局部群系的一些性质，并证明所有 τ-闭 n-重 σ-局部群系组成的集合 l^τ_{σ_n} 构成一个完备模代数格。此外，我们证明 l^τ_{σ_n} 是 σ-归纳的且为 𝔊-可分的。