有限群的 $H_{\sigma}$-置换嵌入与 $H_{\sigma}$-次正规嵌入子群

设 $G$ 为有限群。设 $\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$ 为所有素数集合 $\Bbb{P}$ 的一个划分，$n$ 为整数。记 $\sigma (n) =\{\sigma_{i} |\sigma_{i}\cap \pi (n)\ne \emptyset \}$，$\sigma (G) =\sigma (|G|)$。若 $G$ 的子群集合 ${\cal H}$ 满足：${\cal H}\setminus \{1\}$ 的每个成员均为某个 $\sigma_{i}$ 对应的 $G$ 的 Hall $\sigma_{i}$-子群，且对每一个 $\sigma_{i}\in \sigma (G)$，${\cal H}$ 恰好包含一个 $G$ 的 Hall $\sigma_{i}$-子群，则称 ${\cal H}$ 为 $G$ 的一个完全 Hall $\sigma$-集。称 $G$ 的子群 $A$ 为：(i) $G$ 的 $\sigma$-Hall 子群，若 $\sigma (|A|) \cap \sigma (|G:A|)=\emptyset$；(ii) 在 $G$ 中 ${\sigma}$-可置换，若 $G$ 拥有一个完全 Hall $\sigma$-集 ${\cal H}$ 使得对所有 $H\in {\cal H}$ 及所有 $x\in G$ 有 $AH^{x}=H^{x}A$。若 $A$ 是 $G$ 的某个 ${\sigma}$-可置换子群的 ${\sigma}$-Hall 子群，则称 $G$ 的子群 $A$ 在 $G$ 中 $H_{\sigma}$-置换嵌入。我们研究这样的有限群 $G$：对 $G$ 的每个子群 $A$，$G$ 都有一个阶为 $|A|$ 的 $H_{\sigma}$-置换嵌入子群。一些已知结果得到推广。