关于 Skiba 的一个公开问题

设 $\sigma=\{\sigma_{i}|i\in I\}$ 为所有素数的集合 $\mathbb{P}$ 的某个划分，即 $\mathbb{P}=\bigcup_{i\in I}\sigma_{i}$ 且对于所有 $i\neq j$ 有 $\sigma_{i}\cap \sigma_{j}=\emptyset$。设 $G$ 为有限群。$G$ 的子群集合 $\mathcal {H}$ 被称为 $G$ 的完全 Hall $\sigma$-集，如果 $\mathcal {H}$ 的每个非单位元成员都是 $G$ 的 Hall $\sigma_{i}$-子群，且对于每个 $\sigma_{i}\in \sigma(G)$，$\mathcal {H}$ 恰好包含 $G$ 的一个 Hall $\sigma_{i}$-子群。如果 $G$ 拥有完全 Hall $\sigma$-集，则称 $G$ 为 $\sigma$-群。$\sigma$-群 $G$ 被称为 $\sigma$-可分的，如果 $G$ 有一个正规序列 $1 = G_1<G_2<\cdots< G_t< G_{t+1} = G$ 和一个完全 Hall $\sigma$-集 $\{H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{t}\}$，使得对于所有 $i= 1,2,\ldots t$ 有 $G_iH_i = G_{i+1}$。在本文中，我们给出了 $\sigma$-可分群的刻画，从而对 Skiba 在论文中提出的一个公开问题给出了肯定回答。