有限群的 $\sigma$-性质在多项式时间内的计算

设 $H, K$ 为次数为 $n$ 的置换群 $G$ 的两个子群，且 $K\trianglelefteq G$，记 $\sigma$ 为 $|G/K|$ 所有不同质因数的集合的划分。我们证明，在以 $n$ 为复杂度的多项式时间内，可以判定 $G/K$ 是否为 $\sigma$- nilpotent 以及 $\sigma$-溶解；判定 $H/K$ 是否为 $\sigma$-亚正规以及 $\sigma$-$p$-可交换。此外，还可以找到使 $G/K$ 为 $\sigma$- nilpotent 的 $\pi(G/K)$ 的最小划分 $\sigma$。同样，也可以找到使 $H/K$ 在 $G/K$ 中为 $\sigma$-$p$-可交换的 $\pi(G/K)$ 的最小划分 $\sigma$。