有限集系统的交换性质

在最近的一项突破中，Adiprasito、Avvakumov 和 Karasev 构造了顶点数亚指数级别的 n 维实射影空间三角剖分。他们将问题归约为寻找一个覆盖 n 元基集的、小的向下封闭集系统 cal F，满足如下条件：对任意两个不相交的成员 A, B∈cal F，存在 a∈A 与 b∈B，使得要么 B∪{a}∈cal F 且 A∪{b}\{a}∈cal F，要么 A∪{b}∈cal F 且 B∪{a}\{b}∈cal F。记此类族 cal F 的最小基数为 f(n)，他们证明了 f(n)<2^{O(√n log n)}，并询问非平凡下界。结果表明 Adiprasito 等人的构造离最优不远；我们证明 2^{(1.42+o(1))√n}≤ f(n)≤ 2^{(1+o(1))√(2n log n)}。我们还研究了上述问题的一个变体，其中将该条件加强为：对任意两个不相交的成员 A, B∈cal F 且 |A|>|B|，存在 a∈A 使得 B∪{a}∈cal F。在此情形下，我们证明满足该更强条件的最小 cal F 的大小介于 2^{Ω(√n log n)} 与 2^{O(n log log n/log n)} 之间。