$sat(n,\mathcal{F})$ 的渐近行为

对于图族 $\mathcal{F}$，$sat(n,\mathcal{F})$ 定义为在 $n$ 个顶点的图 $G$ 中的最小边数，要求 $G$ 不包含 $\mathcal{F}$ 中的任何图，但向 $G$ 添加任意一条新边都会产生一个属于 $\mathcal{F}$ 的图。对于单元素族 $\mathcal{F}$，Tuza 猜想 $sat(n,\mathcal{F})/n$ 收敛；Truszczynski 和 Tuza 发现，要么 $sat(n,\mathcal{F})= \left(1-1/r\right)n+o(n)$（其中 $r \geq 1$ 为某整数），要么 $sat(n,\mathcal{F}) \geq n+o(n)$。这一结论常被文献引用为证明 Tuza 猜想的主要进展。遗憾的是，该证明存在缺陷。我们给出了一个需要新颖构造的正确证明。此外，对于有限族 $\mathcal{F}$，我们在稀疏区域 $sat(n,\mathcal{F}) \leq n+o(n)$ 中完全确定了 $sat(n,\mathcal{F})$ 所有可能的渐近行为。最后，我们实质上确定了哪些整数序列可以表示为某个（可能是无限的）族 $\mathcal{F}$ 的形式 $\left(sat(n,\mathcal{F})\right)_{n \geq 0}$。