关于图的极小堡垒的数量

2018年，图的堡垒被引入为顶点的一个非空子集，其中集合外的每个顶点在集合中恰好有一个邻居。此后，堡垒被用于刻画零强制集、将零强制数建模为整数规划，以及生成笛卡尔积的零强制数的下界。在本文中，我们研究图的极小堡垒的数量，其中如果每个真子集都不是堡垒，则该堡垒是极小的。特别地，我们证明阶数至少为6的图的极小堡垒的数量严格小于Sperner界，这是Emanuel Sperner（1928）关于子集族大小的著名界，其中没有子集包含另一个。然后，我们推导了几个图族（包括路径图、圈图和蜘蛛图）的极小堡垒数量的显式公式。此外，我们证明蜘蛛图的极小堡垒数量的渐近增长率以路径图的增长率为上界。我们猜想路径图的渐近增长率在所有树中是极值的。最后，我们开发了利用原始图的极小堡垒构造图积的极小堡垒的方法。在此过程中，我们推导了其他图族（如轮图、日冕图和风车图）的极小堡垒数量的显式公式和下界。最值得注意的是，我们证明风车图族具有指数数量的极小堡垒，其最大渐近增长率为3的立方根，这是我们观察到的最大渐近增长率。我们猜想存在具有更大渐近增长率的图族。