关于树状图的零强制最小堡垒数

我们解决了 Becker 等人（arXiv:2404.05963）关于树状图零强制问题中最小堡垒数 conjectures。我们证明了 $\mathcal{F}_{T_n} \le \binom{n}{2} \mathcal{F}_{P_n}$，其中 $\mathcal{F}_{T_n}$ 为 n 个顶点的树状图的最大最小堡垒数，$\mathcal{F}_{P_n}$ 为路径图上 n 个顶点的最小堡垒数。我们的解答依赖于计算和理论方法。计算方面，我们引入并实现了一种高效算法，用于计算小树状图的确切最小堡垒数；这用于建立强归纳所需的大基准情况。理论方面，我们提供了一种适用于所有森林的递归关系，该关系是定义 $\mathcal{F}_{P_n}$ 的递归关系的变体；这用于归纳步骤以建立该结果。