关于森林中最小全控制集的最大数量

我们提出猜想：每个阶为 $n\ge 2$ 且全控制数为 $\gamma_t$ 的树，其最小全控制集的数量至多为 $\left(\frac{n-\frac{\gamma_t}{2}}{\frac{\gamma_t}{2}}\right)^{\frac{\gamma_t}{2}}$。作为该猜想的弱化，我们证明：每个阶为 $n$、无孤立顶点且全控制数为 $\gamma_t$ 的森林 $F$，其最小全控制集的数量至多为 $\min\left\{\left(8\sqrt{e}\, \right)^{\gamma_t}\left(\frac{n-\frac{\gamma_t}{2}}{\frac{\gamma_t}{2}}\right)^{\frac{\gamma_t}{2}}, (1+\sqrt{2})^{n-\gamma_t},1.4865^n\right\}$。