全边支配的复杂性及树上的一些相关结果

对于顶点集 $V$、边集 $E$ 的图 $G = (V, E)$，若 $E\backslash F$（相应地，在 $E$ 中）的每条边均至少与 $F$ 中的一条边相邻，则称 $E$ 的子集 $F$ 为 $\emph{边支配集}$（相应地，$\emph{全边支配集}$）；图 $G$ 的边支配集（相应地，全边支配集）的最小基数称为 $G$ 的{\em 边支配数}（相应地，{\em 全边支配数}），记为 $\gamma^{'}(G)$（相应地，$\gamma_t^{'}(G)$）。本文证明全边支配问题在最大度 3 的二部图上为 NP 完全。我们还设计了在树上求解该问题的线性时间算法。最后，对图 $G$，给出不等式 $\gamma^{'}(G)\leqslant \gamma^{'}_{t}(G)\leqslant 2\gamma^{'}(G)$，并刻画了不等式中取得上界或下界的树 $T$。