具有大邻域全控制数的树

本文继续研究由 Arumugam 和 Sivagnanam [Opuscula Math. 31 (2011), 519--531] 首次提出的图的邻域全控制问题。图 $G$ 中的邻域全控制集（简称 NTD-set）是指 $G$ 的一个控制集 $S$，且由集合 $S$ 的开邻域所诱导的子图不含孤立顶点。邻域全控制数记为 $\gnt(G)$，是 $G$ 的 NTD-set 的最小基数。每个全控制集都是 NTD-set，这意味着 $\gamma(G) \le \gnt(G) \le \gt(G)$，其中 $\gamma(G)$ 和 $\gt(G)$ 分别表示 $G$ 的控制数和全控制数。Arumugam 和 Sivagnanam 提出了刻画阶数 $n \ge 3$ 且达到最大可能邻域全控制数（即 $\gnt(G) = \lceil n/2 \rceil$）的连通图 $G$ 的问题。Henning 和 Rad [Discrete Applied Mathematics 161 (2013), 2460--2466] 给出了该问题的部分解，他们证明了当 $n$ 为奇数时，只有 5-圈和细分星图能达到该界值的等号。在本文中，我们刻画了当 $n$ 为偶数时达到该界值等号的极值树。作为此树刻画的一个推论，可以得到当 $n$ 为偶数时达到该界值等号的连通图的刻画，因为此类图的每棵生成树都属于我们的极值树族。