分区族的最小阻塞集

$3$ 分区是将一个 $n$ 元素集合 $V$ 分分为三个两两不相交的非空子集 $X,Y,Z$，使得 $V=X\cup Y\cup Z$。我们确定集合 $\mathcal{E}$ 的最小大小 $\varphi_3(n)$，使得对于集合 $\{1,\dots,n\}$ 的每一个 $3$ 分区 $X,Y,Z$，都存在某个 $\{x,y,z\}\in \mathcal{E}$ 使得 $x\in X$, $y\in Y$, $z\in Z$。具体而言，$$\varphi_3(n)=\left\lceil{\frac{n(n-2)}{3}}\right\rceil.$$ 对于 $d>3$，可以定义类似的数 $\varphi_d(n)$。我们确定 $\varphi_d(n)$ 的数量级，并证明以下上界和下界，对于 $d>3$：$$\frac{2 n^{d-1}}{d!} -o(n^{d-1}) \leq \varphi_d(n) \leq \frac{0.86}{(d-1)!}n^{d-1}+o(n^{d-1}).$$