三维中的砖块划分问题

一个 $d$ 维砖块是形如 $I_1\times \cdots \times I_d$ 的集合，其中每个 $I_i$ 是一个区间。给定砖块 $B$，$B$ 的一个砖块划分是将 $B$ 划分为砖块。一个 $d$ 维砖块的砖块划分 $\mathcal{P}_d$ 称为 $k$-穿刺的，若每条轴平行直线与 $\mathcal{P}_d$ 中至少 $k$ 个砖块相交。Bucic 等人明确询问了 $d$ 维砖块的 $k$-穿刺砖块划分的最小大小 $p(d, k)$。已知当 $d=2$ 时答案为 $4(k-1)$。我们的第一个结果几乎确定了 $p(3, k)$。即，我们构造了一个具有 $12k-15$ 个部分的 $3$ 维砖块的 $k$-穿刺砖块划分，与已知下界仅差 $1$。作为上述问题的推广，我们还寻求 $d$ 维砖块的砖块划分 $\mathcal{P}_d$ 的最小大小 $s(d, k)$，其中每个轴平行平面与 $\mathcal{P}_d$ 中至少 $k$ 个砖块相交。我们在 $3$ 维情形解决了该问题，确定了所有 $k$ 下的 $s(3, k)$。