砖岛极大系统的大小

对于整数$m_1,...,m_d>0$和长方体$M=[0,m_1]\times ... \times [0,m_d]\subset \mathbb{R}^d$，$M$的砖块是顶点坐标为整数的闭长方体。$M$中的砖块集合$H$称为砖岛系统，如果$H$中任意两个砖块要么一个包含另一个，要么互不相交。这样的系统称为极大的，如果它不能扩展为更大的砖岛系统。推广Lengv\'{a}rszky的工作，我们证明$M$中砖岛极大系统的最小大小为$\sum_{i=1}^d m_i - (d-1)$。此外，在立方体$C=[0,m]^d$中，我们定义了相应的立方岛系统概念，并证明了立方岛极大系统大小的界。