可分离态的长度过滤

我们研究了具有维数为 $d$ 的希尔伯特空间 $\cH$ 的任意多体量子系统的可分离态 \r。\r 的长度 $L(\r)$ 定义为以 \r 为混合的最少纯乘积态数目。可分离态集合 $\cS$ 的长度过滤是递增链 $\emptyset\subset\cS'_1\subseteq\cS'_2\subseteq\cdots$，其中 $\cS'_i=\{\r\in\cS:L(\r)\le i\}$。我们定义了最大长度 $L_{\rm max}=\max_{\r\in\cS} L(\r)$、临界长度 $L_{\rm crit}$，以及另一个特殊长度 $L_c$，其在我们之前的一篇论文中由简单公式定义。临界长度表示长度过滤中维数等于 $\dim\cS$ 的首个项。我们证明一般地有 $d\le L_c\le L_{\rm crit}\le L_{\rm max}\le d^2$。我们猜想等式 $L_{\rm crit}=L_c$ 对所有有限维多体量子系统成立。我们的主要结果是对于以单个量子比特作为一方之一的双边系统有 $L_{\rm crit}=L_c$。这是通过计算如下一个以 $\cS$ 为值域的合适映射的雅可比矩阵的秩来实现的。