PG(n,2) 中的极小阻塞集与子群覆盖群

在本文中，我们证明 $PG(n,2)$ 中的点集 $B$ 是极小阻塞集，当且仅当 $<B>=PG(d,2)$ 且 $d$ 为奇数，同时 $B$ 是 $PG(d,2)$ 中 $d+2$ 个点的集合，其中任意 $d+1$ 个点不在同一超平面内。作为后一结果的推论，我们证明：若 $G$ 是有限 2-群且 $n$ 为正整数，则 $G$ admit 一个 $\mathfrak{C}_{n+1}$-覆盖，当且仅当 $n$ 为偶数且 $G\cong (C_2)^{n}$。此处，群 $H$ 的 $\mathfrak{C}_m$-覆盖是指由 $H$ 的 $m$ 个极大子群组成的集合 $\mathcal{C}$，其集合论并集为整个 $H$，且 $\mathcal{C}$ 的任何真子集均不具备该性质，同时这些极大子群的交集是核心自由的。此外，对于所有 $n<10$，我们找出了所有满足在 $PG(m,p)$ 中存在大小为 $n$ 且 $<B>=PG(m,p)$ 的阻塞集 $B$ 的数对 $(m,p)$（其中 $m>0$ 为整数，$p$ 为素数）。