关于Shapozenko的Johnson图问题

Johnson图 $J(n,m)$ 以 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的 $m$ 子集为顶点，若两个子集共享 $m-1$ 个元素则它们在图中相邻。Shapozenko询问了Johnson图的等周函数 $\mu_{n,m}(k)$，即对于每个 $1\le k\le {n\choose m}$，$J(n,m)$ 中具有 $k$ 个顶点的集合的最小边界的基数。我们给出了 $\mu_{n,m}(k)$ 的一个上界，并证明对于每一个给定的 $k$，只要布尔格中的阴影最小化问题的解唯一，且每一个充分大的 $n$，该上界是紧的。我们还证明了对于 $k\le m+1$ 的小值以及当 $m=2$ 时所有 $k$ 值，该界是紧的。