非紧度量测度空间中具有 Ricci 曲率下界时等周问题的直接法

我们在非紧 $\mathsf{RCD}(K,N)$ 空间 $(X,\mathsf{d},\mathcal{H}^N)$ 上建立了等周问题极小化序列的结构定理。在唯一（必要）的假设——单位球的测度一致有界远离零——下，我们证明该序列的极限由有限个等周区域组成，这些区域可能包含在沿发散点序列的环境空间 $X$ 的带点 Gromov--Hausdorff 极限中。此类区域的数量关于极小化序列的测度呈线性有界。该结果源于一个新的广义紧性定理，该定理识别了具有一致有界测度与周长的集合序列 $E_i\subset X_i$ 的极限，其中 $(X_i,\mathsf{d}_i,\mathcal{H}^N)$ 是任意的 $\mathsf{RCD}(K,N)$ 空间序列。我们还讨论了一个抽象判据，用于判断极小化序列是否在无穷远处不损失质量地收敛到一个等周集。后一判据对于光滑黎曼空间也是新的。