有限度量空间由其等距序列的刻画

设 $(X,d)$ 为 $|X|=n$ 的有限度量空间。对正整数 $k$，定义 $A_k(X)$ 为 $X$ 的所有 $k$-子集按等距关系的商集，并以 $a_k$ 记 $|A_k(X)|$。序列 $(a_1,a_2,\ldots,a_{n})$ 称为 $(X,d)$ 的等距序列。本文旨在在以下任一假设下通过等距序列刻画有限度量空间：(i) 对某个 $k$（$2\leq k\leq n-2$）有 $a_k=1$；(ii) 对某个 $k$（$4\leq k\leq \frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$）有 $a_k=2$；(iii) $a_3=2$；(iv) $a_2=a_3=3$。此外，我们给出关于如何将此类有限度量空间嵌入欧几里得空间的一些准则。我们给出了 $d$ 维欧几里得空间中具有较小 $a_3$ 的子集的一些最大基数，这是 Epstein、Lott、Miller 与 Palsson 所讨论的具有少量不同三角形集合问题的类比。