$\mathbf{ZF}$ 中的稠密完备度量空间与一致连续函数的扩张

度量空间 $\mathbf{X}$ 被称为稠密完备的，如果 $\mathbf{X}$ 中存在一个稠密集 $D$，使得 $D$ 中点的每个 Cauchy 序列在 $\mathbf{X}$ 中收敛。本研究的主要目的之一是证明可数选择公理（简称为 $\mathbf{CAC}$）与以下命题等价：\smallskip (i) 每个稠密完备的（连通的）度量空间 $\mathbf{X}$ 都是完备的。\smallskip\ (ii) 对于每对度量空间 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$，如果 $\mathbf{Y}$ 是完备的且 $\mathbf{S}$ 是 $\mathbf{X}$ 的稠密子空间，而 $f:\mathbf{S}\rightarrow \mathbf{Y}$ 是一致连续函数，则 $f$ 存在一致连续扩张 $F:\mathbf{X}\to\mathbf{Y}$。\smallskip (iii) 度量空间的完备子空间具有完备闭包。\smallskip (iv) 度量空间的完备子空间是闭集。\smallskip 还证明了将 (i) 限制于实直线子集等价于将 $\mathbf{CAC}$ 限制于 $\mathbb{R}$ 子集的 $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$。然而，将 (ii) 限制于 $\mathbb{R}$ 的子集严格弱于 $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$，因为它与 $\mathbb{R}$ 是序列空间的命题等价。此外，在其他相关结果中，证明了对于每个正整数 $n$，空间 $\mathbb{R}^n$ 是序列空间当且仅当 $\mathbb{R}$ 是序列空间。还证明了 $\mathbb{R}\times\mathbb{Q}$ 不是稠密完备的当且仅当 $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ 成立。