度量环与格的完备性结果
环与代数
2021-10-15 v2 组合数学
摘要
单位区间上可测子集模零测集构成的布尔环B，具有在自然度量下闭的真根理想（例如{0}），但没有在该度量下闭的素理想；因此闭根理想一般不是闭素理想的交。此外，已知B在其度量下是完备的。这些事实共同回答了J.Gleason提出的一个问题。由该例可得具有相应性质的任意特征的环。B在其度量下完备这一结果被推广为：若L是赋予度量的格，该度量恒满足不等式d(x∨y, x∨z)≤d(y,z)或不等式d(x∧y, x∧z)≤d(y,z)，且若L中每个递增柯西序列收敛、每个递减柯西序列收敛，则L中每个柯西序列收敛；即L作为度量空间是完备的。我们借例表明，若上述不等式被较弱条件d(x, x∨y)≤d(x,y)或d(x, x∧y)≤d(x,y)替代，完备性结论可能不成立。我们以两个开放问题作结。
引用
@article{arxiv.1808.04455,
title = {Completeness results for metrized rings and lattices},
author = {George M. Bergman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.04455},
year = {2021}
}
备注
Lots of local rewriting of the previous version; several embarrassing misstatements (e.g., "primary" instad of "radical" in the abstract) corrected