刻画单射度量空间的 Lipschitz 像

若若任意度量空间 $A$ 中子扩张映射 $f:B\to X$（其中 $B$ 为 $A$ 的子空间）都能扩展为定义在整个 $A$ 上的非扩张映射 $\bar f:A\to X$，则称度量空间 $X$ 为“单身”(injective)。我们证明：度量空间 $X$ 为单身度量空间的 Lipschitz 像，当且仅当 $X$ 在 Lipschitz 连通意义下成立，即对任意点 $x,y\in X$，存在 Lipschitz 映射 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$。在此情况下，度量空间 $X$ 具备良定义的内在度量。若 $X$ 为紧致单身度量空间的 Lipschitz 像，当且仅当 $X$ 紧致、Lipschitz 连通且其内在度量全紧。若 $X$ 为可分离单身度量空间的 Lipschitz 像，当且仅当 $X$ 为 Urysohn 通用度量空间的 Lipschitz 像，当且仅当 $X$ 为分析的、Lipschitz 连通且其内在度量可分。