一般度量空间在无穷远处的渐近结构

设 $(X,d)$ 为无界度量空间，$\tilde r=(r_n)_{n\in\mathbb N}$ 为趋于无穷的正实数缩放序列。我们将 $(X, d)$ 在无穷远处的预切空间 $\Omega_{\infty, \tilde r}^{X}$ 定义为一个度量空间，其点为以 $\tilde r$ 的速度趋于无穷的序列 $(x_n)_{n\in\mathbb N}\subset X$ 的等价类。证明了对于每个无界度量空间 $(X, d)$ 和每个缩放序列 $\tilde r$，预切空间 $\Omega_{\infty, \tilde r}^{X}$ 都是完备的。找到了 $\Omega_{\infty, \tilde r}^{X}$ 的有限性条件。