${\mathbb{Z}}^{k} \times {\mathbb{N}}^{d}$ 格点上等周问题中最优周长的单调性

我们证明了关于 ${\mathbb{Z}}^{k} \times {\mathbb{N}}^{d}$ 形式格点上等周问题的一般定理，指出在某些自然假设（如局部对称性或由 $\ell_p$-范数诱导）下，最优集的周长是体积的单调递增函数。考虑到解并不总是嵌套的（因此压缩法等标准技术不适用），所证明的单调性性质令人惊讶。本文的单调性结果特别适用于 $\ell_p$ 距离下的顶点和边等周问题，并可作为阐明最优集性质的工具。作为一个应用，我们考虑了 $\ell_\infty$-距离下图 ${\N}^2$ 上的边等周不等式。我们证明了存在任意长的连续体积值，其最小边界是相同的。