超立方体幂的边等周不等式

对于正整数 $n$ 和 $r$，令 $Q_n^r$ 表示 $n$ 维离散超立方体图的 $r$ 次幂，即顶点集为 $\{0,1\}^n$ 的图，其中两个 0-1 向量若汉明距离不超过 $r$ 则相连。我们研究该图的边等周不等式。Harper、Bernstein、Lindsey 与 Hart 证明了该图在 $r=1$ 情形下的可达最优边等周不等式。对每个 $r \geq 2$，我们得到 $Q_n^r$ 的一个边等周不等式；我们的不等式紧至仅依赖于 $r$ 的常数因子。我们的技术也给出“Kleitman-West 图”（其顶点为 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的所有 $k$ 元子集，两个 $k$ 元集若对称差大小为 2 则有边相连）的边等周不等式；该不等式对大小为 ${n -s \choose k-s}$ 的集合锐至 $2+o(1)$ 因子，其中 $k=o(n)$ 且 $s \in \mathbb{N}$。