近似 Max k-CSP_R 的近最优 UGC 困难性

在本文中，我们基于 Khot 的唯一博弈猜想 (UGC) 证明了 Max $k$-CSP$_R$ 的近最优困难性。在 Max $k$-CSP$_R$ 中，给定一组谓词，每个谓词恰好依赖于 $k$ 个变量。每个变量可以取自 $1, 2, \dots, R$ 中的任意值。目标是找到一种变量赋值，使满足的谓词数量最大化。假设唯一博弈猜想成立，我们证明对任意 $k, R$，在因子 $2^{O(k \log k)}(\log R)^{k/2}/R^{k - 1}$ 内近似 Max $k$-CSP$_R$ 是 NP 困难的。据我们所知，当 $3 \leq k = o(\log R/\log \log R)$ 时，该结果改进了所有已知的近似困难性结果。在这种情况下，先前最好的困难性结果是 Chan 给出的在因子 $O(k/R^{k-2})$ 内近似的 NP 困难性。当 $k = 2$ 时，我们的结果与 Khot、Kindler、Mossel 和 O'Donnell 已知的最佳 UGC 困难性结果一致。此外，通过扩展 Kindler、Kolla 和 Trevisan 的 Max 2-CSP$_R$ 算法，我们给出了 Max $k$-CSP$_R$ 的一个 $\Omega(\log R/R^{k - 1})$-近似算法。该算法意味着我们的不可近似性结果在上至因子 $2^{O(k \log k)}(\log R)^{k/2 - 1}$ 范围内是紧的。相比之下，当 $3 \leq k$ 为常数时，先前已知的间隙为 $O(R)$，明显大于我们的间隙 $O(\text{polylog } R)$。最后，我们证明可以用 Khot 的 $d$-to-1 猜想替换唯一博弈猜想假设，仍得到渐近相同的近似困难性。