面向鲁棒满足问题的新算法与 hardness 结果

本文延续了对承诺 CSP（PCSP）鲁棒满足性的研究，该研究始于 (Brakensiek 等, STOC 2023 / Discrete Analysis 2025)，并取得以下结果：对于带否定词的 1-in-3-SAT 与 NAE-SAT 的 PCSP，我们在独特游戏猜测（UGC）下证明，难以满足在 $(1-\epsilon)$ 满足的实例中 $1-\Omega(1/\log (1/\epsilon))$ 的约束。这表明，对于交替阈值多态性的情况，BGS 算法所导致的指数损失是必要的，与针对多数多态性可实现的多项式损失形成鲜明对比。对于任何接受多数多态性的布尔 PCSP，我们给出一种算法，在保证满足 $1-\epsilon$ 比例强约束的前提下，满足弱约束的 $1-O(\sqrt{\epsilon})$ 比例。这显著泛化了 Charikar-Makarychev-Makarychev 针对 2-SAT 的算法，匹配了在 UGC 下可能实现的最优权衡。该算法还可扩展到具有特定结构条件的更大域上的 PCSP，这一条件由一族多数多态性所暗示。我们证明，在 UGC 假设下，鲁棒满足性在添加等式约束后得以保留。因此，我们可以将决策/搜索 PCSP 丰富的代数技术扩展到鲁棒 PCSP。这些方法涉及开发相关且鲁棒的通用 CSP SDP 取整算法（由 Brown-Cohen-Raghavendra, ICALP 2016 提出），这可能是独立感兴趣的。