非布尔域上承诺 SAT 的复杂性

虽然 3-SAT 是 NP 难的，2-SAT 可在多项式时间内求解。Austrin、Guruswami 和 Håstad 证明了一个称为“$(2+\varepsilon)$-SAT 是 NP 难的”的结果[FOCS'14/SICOMP'17]。他们表明，区分 g-可满足（即某赋值使每子句中至少满足 g 个字面量）的 k-CNF 公式与连 1-可满足都不满足的公式这一问题，当 $\frac{g}{k} < \frac{1}{2}$ 时为 NP 难，否则属于 P。我们研究了任意有限域上 SAT 的推广，其子句为一元约束的析取，并确立了类似行为。从而我们给出了任意有限域上承诺约束满足问题（PCSPs）一个自然片段的二分性。困难侧使用代数方法证明，通过对问题的多态性给出一个基于分层标签覆盖问题的间隙版本的新一般 NP 困难判据。我们表明先前使用的判据不充分——因此该问题为证明如 PCSPs 等近似困难问题的代数技术提供了一个有趣的基准。