近似 $k$-CSP 的最优难度

我们证明，对于每一个 $k\in\mathbb{N}$ 和 $\varepsilon>0$，在 alphabet size $R$ 足够大的情况下，给定一个 $k$-CSP（$k$ 变量约束满足问题），它在以下两种情况之间的区分是 NP-hard 的：一种情况下存在满足至少 $1-\varepsilon$ 比例约束的赋值；另一种情况下没有任何赋值满足超过 $1/R^{k-1-\varepsilon}$ 的约束。该结果改进了 [Chan, Journal of the ACM 2016] 中先前的工作，后者得到的 soundness 较弱，为 $O(k/R^{k-2})$；几乎匹配了找到满足至少 $1/R^{k-1}$ 比例约束的平凡近似算法的性能。我们的证明遵循作者近期工作的方法，其中对 $k=2$ 证明了上述结果。我们的主要新思路是针对Grassmann 图中两个伪随机集合之间的超边计数引出一个计数引理，这可能独立地具有兴趣。