正交维数与最小秩近似的 NP 困难性改进

图 $G$ 在 $\mathbb{R}$ 上的正交维数是最小整数 $k$，使得可为 $G$ 的每个顶点分配一个非零 $k$ 维实向量，且任意两个相邻顶点获得正交向量。我们证明：对每一个足够大的整数 $k$，判定给定图在 $\mathbb{R}$ 上的正交维数是否至多为 $k$ 或至少为 $2^{(1-o(1)) \cdot k/2}$ 是 $\mathsf{NP}$-困难的。我们进一步对有限域上的正交维数以及密切相关的 minrank 参数证明了此类困难性结果，后者由信息论中的索引编码问题所驱动。这尤其意味着将这些图量近似到任意常数因子内均是 $\mathsf{NP}$-困难的。此前，近似的困难性已知要么在某些唯一博弈猜想（Unique Games Conjecture）变体假设下成立，要么仅对小于 $3/2$ 的近似因子成立。证明涉及线有向图的概念及其正交维数与补图 minrank 的界。