(广义)Kneser 图的(广义)正交维数:界与应用

图 $G=(V,E)$ 在域 $\mathbb{F}$ 上的正交维数是最小整数 $t$,使得存在对每个顶点 $v \in V$ 赋予向量 $u_v \in \mathbb{F}^t$ 且 $\langle u_v,u_v \rangle \neq 0$ 的赋值,并且当 $v$ 和 $v'$ 在 $G$ 中相邻时满足 $\langle u_v, u_{v'} \rangle = 0$。对图的正交维数的研究受到信息论和理论计算机科学中各种应用的推动。本工作的贡献有两方面。首先,我们证明存在常数 $c$,使得对每一个足够大的整数 $t$,判定输入图在 $\mathbb{R}$ 上的正交维数是否至多为 $t$ 或至少为 $3t/2-c$ 是 $\mathsf{NP}$-难的。证明的核心是一个几何结果,它可能对 Kneser 图族的正交维数参数的一个推广独立感兴趣,类似于 Stahl 的一个长期猜想 (J. Comb. Theo. Ser. B, 1976)。其次,我们研究不包含某些固定子图的图的补图在有限域上的最小可能正交维数。特别地,我们给出了显式构造的无三角形 $n$ 顶点图,其补图在二元域上的正交维数至多为 $n^{1-\delta}$,其中 $\delta >0$ 为某常数。我们的结果涉及广义 Kneser 图族的构造,并受到线路下界的刚性方法的推动。我们用它们回答了 Codenotti、Pudl\'{a}k 和 Resta (Theor. Comput. Sci., 2000) 提出的几个问题,特别是,在每一个有限域上反驳了他们的奇交替圈猜想。