关于重构问题的不可近似性：PSPACE-硬度与一些紧的 NP-硬度结果

最近，Ohsaka [STACS'23] 提出了重构不可近似性假设 (RIH)，该假设大致断言存在某个 $\epsilon>0$，使得给定某个常数大小字母表上的 $k$-CSP 实例（对于某个常数 $k$）以及两个满足赋值 $\psi_s$ 和 $\psi_t$，寻找一个从 $\psi_s$ 开始到 $\psi_t$ 结束的赋值序列是 PSPACE-难的，要求序列中的每个赋值至少满足 $(1-\epsilon)$ 比例的约束，并且序列中的每个赋值都是通过恰好改变其前一个赋值中的一个变量得到的。假设 RIH 成立，Ohsaka [STACS'23; SODA'24] 已证明许多重要的重构问题在近似上是 PSPACE-难的。在本文中，我们提供了 RIH 的证明。我们的证明利用已知的邻近 PCP 构造来产生间隙，并进一步利用最近参数化不可近似性结果中的并行化框架来分析 RIH 中 $\epsilon$ 和 $k$ 之间的定量权衡。我们注意到 Hirahara 和 Ohsaka [STOC'24] 也独立证明了 RIH。我们还证明了上述 $k$-CSP 重构问题在 $k=2$ 时，近似到 $1/2 + \epsilon$ 因子内（对于任意 $\epsilon>0$）是 NP-难的。我们用一个多项式时间 $(1/2 - \epsilon)$-近似算法对此进行了补充，该算法改进了 Ohsaka [2023] 的 $(1/4 - \epsilon)$-近似算法（同样对于任意 $\epsilon>0$）。最后，我们表明集合覆盖重构问题对于任意常数 $\epsilon > 0$ 近似到 $2 - \epsilon$ 因子内是 NP-难的，这与 Ito 等人 [TCS'11] 提出的简单线性时间 2-近似算法相匹配。