近似集合覆盖重配置的最优 PSPACE 硬度

在 Minmax 集合覆盖重配置问题中，给定全集上的集系 $\mathcal{F}$ 及其两个大小为 $k$ 的覆盖 $\mathcal{C}^\mathsf{start}$ 和 $\mathcal{C}^\mathsf{goal}$，我们希望通过对 $\mathcal{F}$ 反复添加或移除单个集合，将 $\mathcal{C}^\mathsf{start}$ 转换为 $\mathcal{C}^\mathsf{goal}$，同时在任何中间状态下保持对全集的覆盖。此时，目标是最小化转换过程中任何中间覆盖的最大大小。我们证明了 Minmax 集合覆盖重配置和 Minmax 支配集重配置在近似因子 $2-\frac{1}{\operatorname{polyloglog} N}$ 内是 $\mathsf{PSPACE}$ 难的，其中 $N$ 分别是全集的大小和图中顶点的数量，这一结果改进了 Ohsaka (SODA 2024) 以及 Karthik C. S. 和 Manurangsi (2023) 的工作。这是首个展示任何重配置问题近似因子存在尖锐阈值的结果，因为根据 Ito, Demaine, Harvey, Papadimitriou, Sideri, Uehara, 和 Uno (Theor. Comput. Sci., 2011) 的研究，这两个问题均存在 2-因子近似算法。我们的证明基于 Hirahara 和 Ohsaka (2024) 提出的概率可检查重配置证明中 FGLSS 归约的重配置类比。我们还证明，对于任意常数 $\varepsilon \in (0,1)$，在 $\operatorname{poly}(\varepsilon^{-1})$-一致超图上的 Minmax 超图顶点覆盖重配置问题在近似因子 $2-\varepsilon$ 内是 $\mathsf{PSPACE}$ 难的。