关于目标集的可重构性

我们研究图的靶集(target set)可重构性判定问题。给定图$G$及顶点阈值$\tau$,考虑一种动态过程:当顶点$v$的已激活邻居数至少达到$\tau(v)$时,该顶点被激活。若初始激活顶点集$S$中的顶点能使$G$的所有顶点均被激活,则称$S$为靶集。在靶集重构(Target Set Reconfiguration)问题中,给定两个相同大小的靶集$X$和$Y$,要求判断能否通过反复将当前集合中的一个顶点与不在当前集合中的另一个顶点交换,且保持每次中间集合均为靶集,将$X$变换为$Y$。本文研究受限情形下靶集重构的复杂度。在困难性方面,我们证明靶集重构在度为$3$和$4$、阈值为$2$的二部平面图、二部$3$-正则图、以及阈值为$1$和$2$的平面$3$-正则图和分裂图上均为PSPACE完全问题;而作为对比,其特例顶点覆盖重构(Vertex Cover Reconfiguration)在最后一类图上是P类问题。在正向结果方面,我们给出了靶集重构在最大度$2$的图和树上的多项式时间算法。后一结果可视为顶点覆盖重构相应结果的推广。