重配置 k-路径顶点覆盖

图 $G$ 的顶点子集 $I$ 称为 $k$-路径顶点覆盖，若 $G$ 中每条含 $k$ 个顶点的路径都至少包含 $I$ 中的一个顶点。\textsc{$k$-路径顶点覆盖重配置（$k$-PVCR）}问题询问能否通过一个 $k$-路径顶点覆盖序列将其中一个 $k$-路径顶点覆盖变换为另一个，其中每个中间成员由其前驱经恰好一次给定重配置规则得到。我们从图类的视角，在著名的重配置规则 $\mathsf{TS}$、$\mathsf{TJ}$ 和 $\mathsf{TAR}$ 下研究 \textsc{$k$-PVCR} 的计算复杂性。对 $k=2$ 的问题（称为 \textsc{顶点覆盖重配置（VCR）}问题）已有充分研究。我们表明，文献中针对平面图、有界带宽图、弦图和二部图上 \textsc{VCR} 的若干已知困难性结果可推广至 \textsc{$k$-PVCR}。特别地，我们证明了 \textsc{$k$-PVCR} 在一般图上的复杂性二分法：在最大度为 $3$（甚至平面图）的图上，该问题为 $\mathtt{PSPACE}$-完全；而在最大度为 $2$（即路径与圈）的图上，该问题可在多项式时间内求解。此外，我们还针对 $\mathsf{TJ}$ 与 $\mathsf{TAR}$ 各自设计了树上 \textsc{$k$-PVCR} 的多项式时间算法。而且，在路径、圈和树上，我们描述了在肯定实例中如何于两个给定 $k$-路径顶点覆盖之间构造重配置序列。特别地，在路径上我们构造的重配置序列是最短的。